證明方程2x=3有且只有一個根.

證明:∵2x=3,∴x=Log23.這說明方程有一個根.?

下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.?

假設(shè)方程2x=3有兩個根b1、b2(b1≠b2),則2=3,2=3.兩式相除,得2=1.?

如果b1-b2＞0,則2＞1,這與2=1相矛盾;??

如果b1-b2＜0,則2＜1,這也與2=1相矛盾.?

因此b1-b2=0,則b1=b2.

這就同b1≠b2相矛盾.?

如果方程的根多于兩個,同樣可推出矛盾.?

故2x=3有且只有一個根.

點評:“有且只有”表示“存在且唯一”.因此,在證明此類問題時要分別從存在性和唯一性兩方面來考慮,而證明唯一性時,通常使用反證法.

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已知定義在I上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足0＜f'（x）＜2且f'（x）≠1，常數(shù)C1是方程f（x）-x=0的實根，常數(shù)C2是方程f（x）-2x=0的實根．
（1）若對任意[a，b]⊆I，存在xo∈（a，b）使等式
f(b)-f(a)b-a
=f′(x0)成立．證明：方程f（x）-x=0有且只有一個實根；
（2）求證：當(dāng)x＞c2時，總有f（x）＜2x；
（3）若|x1-c1|＜1，|x2-c1|＜1，求證：|f（x1）-f（x2）|＜4．

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