【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm. 現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度.

【答案】（1）16cm.（2）20cm.

【解析】

試題（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形ACM中，利用相似性質(zhì)求解AP1；（2）轉(zhuǎn)化到三角形EGN中，先利用直角梯形性質(zhì)求角，再利用正弦定理求角，最后根據(jù)直角三角形求高，即為沒入水中部分的長度．

試題解析：解:（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，.

記玻璃棒的另一端落在上點處.

因為，

所以，從而 ，

記與水面的焦點為,過作P1Q1⊥AC, Q1為垂足，

則 P1Q1⊥平面 ABCD，故P1Q1=12，

從而 AP1= .

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.

( 如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為24cm)

（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心.

由正棱臺的定義，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.

同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.

記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.學(xué)科&網(wǎng)

過G作GK⊥E1G，K為垂足， 則GK =OO1=32.

因為EG = 14，E1G1= 62，

所以KG1= ，從而.

設(shè)則.

因為，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因為，所以.

于是.

記EN與水面的交點為P2，過 P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，從而 EP2=.

答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.

(如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為20cm)

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為：，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點，求的值，并求定點到兩點的距離之積.

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（1）求實數(shù)k的值，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)g（x），若對x1∈（0，+∞），x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，所在位置分別記為點．

（1）若甲乙都以每分鐘的速度從點出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端

時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；

（2）設(shè)，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且，請將甲

乙之間的距離表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．

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【題目】如圖，已知A，B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處，點C在A的正西方向1 km處，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.現(xiàn)計劃鋪設(shè)一條電纜連通A，B兩鎮(zhèn)，有兩種鋪設(shè)方案：①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在湖岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元km、4萬元km.

（1）求A，B兩鎮(zhèn)間的距離；

（2）應(yīng)該如何鋪設(shè)，使總鋪設(shè)費用最低？

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【題目】某高校健康社團為調(diào)查本校大學(xué)生每周運動的時長，隨機選取了80名學(xué)生，調(diào)查他們每周運動的總時長（單位：小時），按照共6組進行統(tǒng)計，得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下（表1、2），規(guī)定每周運動15小時以上（含15小時）的稱為“運動合格者”，其中每周運動25小時以上（含25小時）的稱為“運動達人”.

表1：男生

時長

人數(shù)

2

8

16

8

4

2

表2：女生

時長

人數(shù)

0

4

12

12

8

4

（1）從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人，求選到“運動達人”的概率；

（2）根據(jù)題目條件，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為本校大學(xué)生是否為“運動合格者”與性別有關(guān).

每周運動的時長小于15小時

每周運動的時長不小于15小時

總計

男生

女生

總計

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.40

0.25

0.10

0.010

0.708

1.323

2.706

6.635

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【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點焦點在x軸上，橢圓C上一點A（2，﹣1）到兩焦點距離之和為8.若點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點D在y軸上，求直線BP的方程；

（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點.若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

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（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若方程有兩個不等實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

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（1）下表是這次抽查成績的頻數(shù)分布表，試求正整數(shù)、的值；

區(qū)間

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[95，100]

人數(shù)

50

a

350

300

b

（2）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析，求抽取成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；

（3）在根據(jù)（2）抽取的40名學(xué)生中，要隨機選取2名學(xué)生參加座談會，記其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望（即均值）.

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