Question

12．根據(jù)國家《環(huán)境空氣質量標準》規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，15]	4	0.1
第二組	（15，30]	12	0.3
第三組	（30，45]	8	0.2
第四組	（45，60]	8	0.2
第五組	（60，75]	4	0.1
第六組	（75，90 ）	4	0.1

（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；
（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由；
（3）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分配表，直接求解眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）利用中位數(shù)與頻率求出該居民區(qū)PM2.5年平均濃度，判斷即可．
（3）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望與方差即可．

解答 解：（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米． …（4分）
（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因為40.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質量標準，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．       …（7分）
（3）記事件A表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準”，
則$P（A）=\frac{9}{10}$．隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．且ξ～B$（2，\frac{9}{10}）$
所以$P（ξ=k）=C_2^k{（\frac{9}{10}）^k}{（1-\frac{9}{10}）^{2-k}}（k=0，1，2）$，所以變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	$\frac{1}{100}$	$\frac{18}{100}$	$\frac{81}{100}$

（10分）
$Eξ=0×\frac{1}{100}+1×\frac{18}{100}+2×\frac{81}{100}=1.8$（天），或$Eξ=nP=2×\frac{9}{10}=1.8$（天）  …（11分）
Dξ=0.18（12分）

點評 本題考查頻率分布表，獨立重復試驗的概率分布列以及期望與方差的求法，考查計算能力．