Question

3．（1）設(shè)不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，$M=\left\{{m|-\frac{1}{4}≤m＜2}\right\}$，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．
（2）已知命題：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）∈N是x∈M的必要條件，所以M⊆N，當(dāng)a=1時，解集N為空集，不滿足，當(dāng)a＞1時，求得解集，列不等式組即可求得a的取值范圍；
（2）方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，m的取值集合就是函數(shù)y=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（-1，1）上的值域，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）因為x∈N是x∈M的必要條件，所以M⊆N，
當(dāng)a=1時，解集N為空集、不滿足題意；
當(dāng)a＞1時，a＞2-a，此時集合N={x|2-a＜x＜a}，
則$\left\{{\begin{array}{l}{2-a＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}}\right.$，
所以$a＞\frac{9}{4}$；
（2）由題意得，方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，
∴m的取值集合就是函數(shù)y=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（-1，1）上的值域，值域為[-$\frac{1}{4}$，2），
∴實數(shù)m的取值范圍[-$\frac{1}{4}$，2）．

點評 本題考查充分條件和必要條件的判斷，考查集合的運算，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．