Question

13．已知x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-4≤0\\{（{x-2}）^2}+{y^2}≤4\end{array}\right.$，則z=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+y的范圍為$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，進一步求得z=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+y的范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-4≤0\\{（{x-2}）^2}+{y^2}≤4\end{array}\right.$作出可行域如圖所示，

當直線$z=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+y$與可行域相切時，z最小，
由圓心（2，0）到直線$\frac{\sqrt{3}}{3}x-y+z=0$的距離d=$\frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3}+z|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}}=2$，
解得：z=$-2\sqrt{3}$或z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（舍）．
∴${z_{min}}=-2\sqrt{3}$，
當直線過（2，2）點時，z取得最大，此時${z_{max}}=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴z的范圍為$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．
故答案為：$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．