Question

12．設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，若在直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上存在點P，使△PF₁F₂為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 由已知P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），可得F₁P的中點Q的坐標，求出斜率，利用${k}_{{F}_{1}P}•{k}_{{F}_{2}Q}=-1$，可得y²=2b²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，由此可得結論．

解答 解：由已知P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），得F₁P的中點Q的坐標為（$\frac{^{2}}{2c}，\frac{y}{2}$），
∴${k}_{{F}_{1}P}=\frac{cy}{^{2}}，{k}_{{F}_{2}Q}=\frac{cy}{^{2}-2{c}^{2}}$，
∵${k}_{{F}_{1}P}•{k}_{{F}_{2}Q}=-1$，∴y²=2b²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
∴y²=（a²-c²）（3-$\frac{1}{{e}^{2}}$）＞0，
∴3-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞0，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜e＜1．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的離心率的計算，考查學生分析解決問題的能力，確定F₁P的中點Q的坐標是解答該題的關鍵，是中檔題．