Question

某商品進(jìn)貨價(jià)每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格(每件x元)在50＜x≤80時(shí)，每天售出的件數(shù)P＝，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，銷售價(jià)格每件應(yīng)定為多少元？

Answer 1

解法一：設(shè)銷售價(jià)定為每件x元(50＜x≤80).

每天獲得利潤(rùn)y元，則y＝(x－50)·P＝.

設(shè)x－50＝t，則0＜t≤30，

∴y＝＝≤＝2500.

當(dāng)且僅當(dāng)t=10，即x＝60時(shí)，y_max＝2500.

答：每件60元時(shí)，每天獲利最多，最多是2500元.

解法二：求y＝的最大值，還可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題解之.

令＝t，∵10＜x－40≤40，∴≤t＜.

y＝＝10⁵·t²(－10)＝10⁵(－10t²＋t).

當(dāng)t＝，即x＝60時(shí)，y_max＝2500.

求y的最大值，還可以用二次函數(shù)的判別式方法解.

令x－40=t，則10＜t≤40，y＝，

即yt²－10⁵t＋10⁶＝0.                                                                                                            ①

Δ＝10¹⁰－4·10⁶·y≥0.

解之y≤2500，即y_max＝2500.

檢驗(yàn)：當(dāng)y＝2500時(shí)，方程①2500t²－10⁵t＋10⁶＝0，即t²－40t＋400＝0.

解之t＝20∈(10，40］.

這時(shí)x＝60.

點(diǎn)評(píng)：(1)設(shè)變量時(shí)，把最值變量定為函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式.(2)構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求最值.法一：令x－50=t，使分子最簡(jiǎn)，同除以分子后，很容易用均值不等式求分母的最值.法二：令＝t，使二次函數(shù)式最簡(jiǎn)，易于求二次函數(shù)y的最值.法三：令x－40=t，應(yīng)用二次方程判別式求最值.但應(yīng)注意檢驗(yàn).