Question

17．如圖，已知A、B是兩個(gè)頂點(diǎn)，且$AB=2\sqrt{3}$，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)M變化時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)P的軌道為曲線C，斜率為1的直線交曲線C于N、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△NOQ面積的最大值，及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，利用垂直平分線轉(zhuǎn)換線段的關(guān)系得到PA+PB=4，據(jù)橢圓的定義即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．
由線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P知，PB=PM
故PA+PB=PA+PM=AM=4，$AB=2\sqrt{3}$，A（$-\sqrt{3}$，0）
，B（$\sqrt{3}$，0），即P點(diǎn)的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
中心為（0，0），可得a=2，c=$\sqrt{3}$，則b=1
故P點(diǎn)的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)l：y=x+m并代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
得5x²+8mx+4m²-4=0，
∵△=（8m）²-4×5×（4m²-4）＞0
∴80-16m²＞0  
 即m∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
|PQ|=$\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（-{\frac{8m}{5}）}^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{10-2{m}^{2}}}{5}$
又原點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{|m|}{\sqrt{2}}×\frac{4\sqrt{2}\sqrt{5-{m}^{2}}}{5}$=$\frac{2}{5}\sqrt{{m}^{2}（5-{m}^{2}）}$≤2×$\frac{2}{5}•\sqrt{（\frac{{m}^{2}+5-{m}^{2}}{2}）^{2}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)5-m²=m²即m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時(shí)等號成立，
故△OPQ面積的最大值為：2．
此時(shí)直線l的方程：y=x$±\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積公式與基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意軌跡方程中不滿足題意的點(diǎn)需要去掉．