Question

7．設(shè)函數(shù)$y=\frac{lnx}{x+1}$，
（1）求證：$f（x）≤1-\frac{2}{x+1}$；
（2）當x≥1時，f（x）≥lnx-a（x-1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分析法把要證明$f（x）≤1-\frac{2}{x+1}$轉(zhuǎn)化為證明lnx≤x-1，即lnx-x+1≤0，令g（x）=lnx-x+1，利用導數(shù)證明g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，則答案得證；
（2）當x≥1時，f（x）≥lnx-a（x-1）恒成立，$\frac{lnx}{x+1}≥lnx-a（x-1）$，即xlnx-a（x²-1）≤0，令h（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），h'（x）=lnx+1-2ax，令H（x）=lnx+1-2ax，二次求導后討論a≤0，$0＜a＜\frac{1}{2}$，$a≥\frac{1}{2}$三種情況可得a的取值范圍．

解答 （1）證明：要證明$f（x）≤1-\frac{2}{x+1}$，即$\frac{lnx}{x+1}≤\frac{x-1}{x+1}$，
∵x＞0，∴也就是要證明lnx≤x-1，即lnx-x+1≤0，
下面證明lnx-x+1≤0恒成立，
令g（x）=lnx-x+1，$g'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，令g'（x）=0，得x=1，
可知：g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，
則$f（x）≤1-\frac{2}{x+1}$；
（2）解：當x≥1時，f（x）≥lnx-a（x-1）恒成立，$\frac{lnx}{x+1}≥lnx-a（x-1）$，即xlnx-a（x²-1）≤0，
令h（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），h'（x）=lnx+1-2ax，
令H（x）=lnx+1-2ax，∴$H'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$，
①當a≤0時，H'（x）＞0恒成立，
∴H（x）在[1，+∞）上遞增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1-2a＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，
∴a≤0不符合題意；
②當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}＞1$，
當$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$時，H'（x）＞0，H（x）遞增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1-2a＞0，
從而h（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，
∴$0＜a＜\frac{1}{2}$不符合題意；
③當$a≥\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}＜1$，H'（x）＜0恒成立，
∴H（x）在[1，+∞）上遞減，h'（x）=H（x）≤H（1）=1-2a＜0，
∴h（x）在[1，+∞）上遞減，
∴h（x）≤h（1）=0，
∴$a≥\frac{1}{2}$符合題意．
綜上所述：a的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬壓軸題．