Question

設(shè)a，b分別是方程log₂x+x-3=0和2^x+x-3=0的根，則a+b=

3

log₂a+2^b=

3

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)y₁=log₂x，y₂=2^x，y=-x+3，則由y=2^x與y=log₂x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱可得，y=log₂x與y=-x+3的交點(diǎn)與y=2^x與y=-x+3的交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，且對(duì)稱點(diǎn)是y=-x+3與y=x的交點(diǎn)，求出對(duì)稱點(diǎn)即可求解

解答：解：令y₁=log₂x，y₂=2^x，y=-x+3
由互為反函數(shù)的性質(zhì)可得，y=2^x與y=log₂x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱
因?yàn)閥=log₂x與y=-x+3的交點(diǎn)與y=2^x與y=-x+3的交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，且對(duì)稱點(diǎn)是y=-x+3與y=x的交點(diǎn)
由

y=-x+3 y=x

可得x=y=

3

2

，即對(duì)稱點(diǎn)（

3

2

，

3

2

）
a+b=3，log₂a+2^b=3
故答案為：3，3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．