Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)，點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）由

則且由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，

整理得直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓C的離心率

得，其中，

橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為

又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上

解得

  

（2）由題意，知直線MN存在斜率，其方程為

由

消去

設(shè)

則

且  

由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，

得

化簡(jiǎn)，得    

整理得

 直線MN的方程為，  

因此直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）  

考點(diǎn)：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓相交問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交問(wèn)題常用的思路：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理為x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩根來(lái)表示