Question

4．已知P（0，-1）是橢圓C的下頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，直線PF與橢圓C的另一個交點為Q，滿足$\overrightarrow{PF}=7\overrightarrow{FQ}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過左頂點A作斜率為k（k＞0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點B．已知M為AD的中點，是否存在定點N，使得對于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）P（0，-1）是橢圓C的下頂點，可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．右焦點F（c，0）．由$\overrightarrow{PF}=7\overrightarrow{FQ}$，可得Q$（\frac{8c}{7}，\frac{1}{7}）$，代入橢圓C的方程可得：$\frac{64{c}^{2}}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49}$=1，又b²=a²-c²=1，解得a即可得出．
（2）直線l的方程為：y=k（x+2），與橢圓方程聯(lián)立化為：（x+2）[4k²（x+2）+（x-2）]=0，可得D（$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$）．可得AD的中點M$（\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}，\frac{2k}{4{k}^{2}+1}）$，可得k_OM．直線l的方程為：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假設(shè)存在定點N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，則k_OM•k_BN=-1，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵P（0，-1）是橢圓C的下頂點，可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．
右焦點F（c，0）．
由$\overrightarrow{PF}=7\overrightarrow{FQ}$，可得Q$（\frac{8c}{7}，\frac{1}{7}）$，代入橢圓C的方程可得：$\frac{64{c}^{2}}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49}$=1，
∴4c²=3a²，又b²=a²-c²=1，解得a=2．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）直線l的方程為：y=k（x+2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y化為：（x+2）[4k²（x+2）+（x-2）]=0，
∴x₁=-2，x₂=$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$．
由x_D=$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，可得y_D=k（x_D+2）=$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$．∴D（$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$）．
由點M為AD的中點，可得M$（\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}，\frac{2k}{4{k}^{2}+1}）$，可得k_OM=-$\frac{1}{4k}$．
直線l的方程為：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．
假設(shè)存在定點N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，則k_OM•k_BN=-1，
∴$-\frac{1}{4k}•\frac{n-2k}{m}$=-1，化為（4m+2）k-n=0恒成立，
由$\left\{\begin{array}{l}{4m+2=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
因此存在定點N$（-\frac{1}{2}，0）$．使得對于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線經(jīng)過定點問題、斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．