Question

已知在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M、N、P分別是棱AB、BC、AA₁的中點，給出下列五個結(jié)論：
①AC⊥PM；
②B₁D∥PMN；
③AC∥平面PMN；
④過P、M、N的平面截該正方體所得的截面面積為

3 3

4

；
⑤B₁P⊥平面PMN．
以上結(jié)論中正確的是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①由平行可知AC和CD₁所成的角即為AC和PM所成的角，在等邊三角形ACD₁中，∠ACD₁=60°，即可判斷；
②運用線面垂直的判定和性質(zhì)，即可證得B₁D⊥平面PMN；
③運用線面平行的判定定理，即可得到；
④畫出過P、M、N的平面截該正方體所得的截面為正六邊形，邊長為

2

2

，求出面積，即可判斷；
⑤若B₁P⊥平面PMN，又B₁D⊥平面PMN，則B₁D與B₁P重合，即可判斷．

解答： 解：①∵PM∥A₁B，A₁B∥CD₁，∴PM∥CD₁，即AC和CD₁所成的角即為AC和PM所成的角，在等邊三角形ACD₁中，∠ACD₁=60°，故①錯；
②∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，∴AC⊥平面BDB₁，∴AC⊥B₁D，即MN⊥B₁D，
同理PM⊥B₁D，則B₁D⊥平面PMN，故②錯；
③∵AC∥MN，AC?平面PMN，∴AC∥平面PMN，故③對；
④過P、M、N的平面截該正方體所得的截面為正六邊形，如圖所示，邊長為

2

2

，
面積為6×

3

4

×（

2

2

）2=

3 3

4

，故④對；
⑤若B₁P⊥平面PMN，又B₁D⊥平面PMN，則B₁D與B₁P重合，故⑤錯．
故答案為：③④

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直，記熟線面平行、垂直的判定和性質(zhì)是迅速解題的關(guān)鍵，同時考查截面的畫法及計算，以及空間異面直線所成的角的求法，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．