Question

5．已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|（x-a）（x-8）≤0}
（1）求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件；
（2）求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分但不必要條件；
（3）求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個必要但不充分條件．

Answer 1

分析 討論a的取值范圍，得到集合P的等價條件，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行求解即可．

解答 解：若a=8，則P={8}，
若a＜8，則P={x|（x-a）（x-8）≤0}={x|a≤x≤8}，
若a＞8，則P={x|（x-a）（x-8）≤0}={x|8≤x≤a}，
（1）若M∩P={x|5＜x≤8}，則a滿足-3≤a≤5，
（2）由（1）知，M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件是-3≤a≤5，
則當a∈[-3，5]時，是M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分但不必要條件；
比如a=0是所求的一個充分但不必要條件．（答案不唯一）
（3）求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個必要但不充分條件就是另求一個集合，
故{a|-3≤a≤5}是它的一個真子集．
如果{a|a≤5}時，未必有M∩P={x|5＜x≤8}，
但是M∩P={x|5＜x≤8}時，必有a≤5，
故{a|a≤5}是所求的一個必要但不充分條件．（答案不唯一）．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)定義求出交集的充要條件是解決本題的關(guān)鍵．