Question

7．2017年存節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600 元（含600元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．
方案一：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸到2個紅球，則打6折；若摸到1個紅球，則打7折；若沒摸到紅球，則不打折．
方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．
（1）若兩個顧客均分別消費了 600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算．

Answer 1

分析 （1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算兩位顧客均享受到免單的概率值；
（2）選擇方案一，計算所付款金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望值，
選擇方案二，計算所付款金額Z的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論．

解答 解：（1）選擇方案一，若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出3個紅球，
設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則
$P（A）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}$，
所以兩位顧客均享受到免單的概率為
$P=P（A）•P（A）=\frac{1}{14400}$；
（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則
X可能的取值為0，600，700，1000；
計算$P（{X=0}）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}，P（{X=600}）=\frac{C_3^2C_7^1}{{C_{10}^3}}=\frac{7}{40}$，
$P（{X=700}）=\frac{C_3^1C_7^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}，P（{X=1000}）=\frac{C_7^3}{{C_{10}^3}}=\frac{7}{24}$，
故X的分布列為：

X	0	600	700	1000
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$

所以$E（X）=0×\frac{1}{120}+600×\frac{7}{40}+700×\frac{21}{40}+1000×\frac{7}{24}=764\frac{1}{6}$（元）；
若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為Y，付款金額為Z元，則Z=1000-200Y，
由已知可得$Y～B（{3，\frac{3}{10}}）$，故$E（Y）=3×\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$，
所以E（Z）=E（1000-200Y）=1000-200E（Y）=820（元），
因為E（X）＜E（Z），所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．