Question

14．已知向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）），\overrightarrow n=（2coswx，y）（0＜w＜2）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求w的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，已知$g（\frac{α}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$，求$cos（2α-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量平行的性質(zhì)及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，可求ω=$\frac{6k-1}{5}$（k∈Z），結(jié)合范圍0＜ω＜2，可求ω，利用周期公式即可得解．
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，利用二倍角公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）），\overrightarrow n=（2coswx，y）（0＜w＜2）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴y=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）cosωx=3sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{3}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…4分
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
∴sin（$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{6}$）=0，
∴$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{6}$=kπ，可得：ω=$\frac{6k-1}{5}$（k∈Z），
∵0＜ω＜2，
∴ω=1，…6分
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2}=π$…7分
（2）g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…9分
∴g（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，…10分
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{9}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量平行的性質(zhì)及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)律，二倍角公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．