Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點．
（Ⅰ）求平面ABCD與平面A₁BE所成二面角的平面角的正弦值；
（Ⅱ）請問：在棱C₁D₁上是否存在一點F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結論．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設正方體的棱長為1，以

AB

，

AD

，

AA1

為單位正交基底建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值．
（Ⅱ） 利用向量法能求出在棱C₁D₁上存在一點F（F為C₁D₁的中點），使B₁F∥平面A₁BE．

解答： 解：（Ⅰ）設正方體的棱長為1，如圖所示，
以

AB

，

AD

，

AA1

為單位正交基底建立空間直角坐標系．
依題意，得B（1，0，0），E（0，1，

1

2

），A（0，0，0），
D（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴

BE

=（-1，1，

1

2

），

BA1

=（-1，0，1）
設

n

=（x，y，z）是平面A₁BE的一個法向量，…4分
則由

n

•

BA1

=0，

n

•

BE

=0，得

-x+z=0 -x+y+ 1 2 z=0

所以x=z，y=

1

2

z．取z=2，得

n

=（2，1，2）．
取平面ABCD的一個法向量為

m

=（0，0，1），
則cos＜

n

，

m

＞=

2

3•1

=

2

3

，∴sin＜

m

，

n

＞=

5

3

．
即所求二面角的平面角的正弦值為

5

3

．…8分
（Ⅱ） 在棱C₁D₁上存在一點F（F為C₁D₁的中點），使B₁F∥平面A₁BE．
證明如下：
設F是棱C₁D₁上的點，則F（t，1，1）（0≤t≤1）又B₁（1，0，1），

B1F

=（t-1，1，0），由（Ⅰ）知，平面A₁BE的一個法向量為

n

=（2，1，2）．
而B₁F?平面A₁BE，
于是B₁F∥平面A₁BE，∴

B1F

•

n

=（t-1，1，0）•（2，1，2）=0，
∴2（t-1）+1=0，解得t=

1

2

，
∴F為C₁D₁的中點．
這說明在棱C₁D₁上存在一點F（F為C₁D₁的中點），使B₁F∥平面A₁BE．…14分．

點評：本題考查二面角的正弦值的求法，考查使直線與平面平行的點的位置的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．