Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若x=x₀（x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]）為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得值域
（Ⅱ）根據(jù)x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，求出零點(diǎn)f（x₀）的值，即可求sin2x₀的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈R
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+sin-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
值域?yàn)椋篬$-\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
（Ⅱ）令f（x₀）=0，可得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{4}$＜0
∵x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x₀-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，0]，
cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
那么：sin2x₀=sin[（2x₀-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）-cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．