Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x）2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實數x₁，x₂，x₃，x₄滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范圍是（　　）

• A． （15，25）
• B． （20，32）
• C． （8，24）
• D． （9，21）

Answer 1

分析 畫出函數f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，由此可得$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范圍．

解答 解：函數的圖象如圖所示，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴l(xiāng)og₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，
∴$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=x₃x₄-（x₃+x₄）+1=x₃x₄-11=x₃（12-x₃）-11=-x₃²+12x₃-11=-（x₃-6）²+25，
∴$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范圍是（9，21）．
故選：D

點評 本小題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法、函數的值域的應用、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．