Question

1．已知拋物線C₁：y²=2x的焦點(diǎn)F是雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個(gè)頂點(diǎn)，兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，若|MF|=$\frac{3}{2}$，則雙曲線C₂的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{33}}}{3}$

Answer 1

分析 通過題意可知F（$\frac{1}{2}$，0）、不妨記M（1，$\sqrt{2}$），將點(diǎn)M、F代入雙曲線方程，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題意可知F（$\frac{1}{2}$，0），
由拋物線的定義可知：x_M=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴y_M=±$\sqrt{2}$，不妨記M（1，$\sqrt{2}$），
∵F（$\frac{1}{2}$，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴$\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}=1$，即a²=$\frac{1}{4}$，
又點(diǎn)M在雙曲線上，∴$\frac{1}{\frac{1}{4}}-\frac{2}{^{2}}=1$，即b²=$\frac{2}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求雙曲線的離心率，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．