Question

16．二次函數(shù)y=kx²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，n為正整數(shù)，a₁=$\frac{1}{3}$，若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₅=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^5}}]$
• B． $\frac{1}{3}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^5}}]$
• C． $\frac{2}{3}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^5}}]$
• D． $\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^5}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出k=1，2ka_n=$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$，化簡(jiǎn)判斷為等比數(shù)列，即可求解．

解答 解：∵二次函數(shù)y=kx²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，
∴k=1，2ka_n=$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$，得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$=常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴S₅=$\frac{\frac{1}{3}（1-（\frac{1}{2}）^{5}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$（1-（$\frac{1}{2}$）⁵）
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的綜合解決問題，等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題，難度不大．