Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=16．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為2a即可求出|AN|+|BN|．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0），
如圖，連接QF₁，QF₂，
∵F₁是MA的中點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，
∴F₁Q是△MAN的中位線；
丨QF₁丨=$\frac{1}{2}$丨AN丨，
同理：丨QF₂丨=$\frac{1}{2}$丨NB丨，
∵Q在橢圓C上，
∴|QF₁|+|QF₂|=2a=8，
∴|AN|+|BN|=16．
故答案為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的中位線定理，屬于中檔題．