Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=16．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點連接橢圓的兩個焦點，便會得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點到兩焦點的距離和為2a即可求出|AN|+|BN|．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1焦點在x軸上，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，
設MN的中點為Q，橢圓C的左右焦點分別為F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0），
如圖，連接QF₁，QF₂，
∵F₁是MA的中點，Q是MN的中點，
∴F₁Q是△MAN的中位線；
丨QF₁丨=$\frac{1}{2}$丨AN丨，
同理：丨QF₂丨=$\frac{1}{2}$丨NB丨，
∵Q在橢圓C上，
∴|QF₁|+|QF₂|=2a=8，
∴|AN|+|BN|=16．
故答案為16．

點評 本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質(zhì)的應用，三角形的中位線定理，屬于中檔題．