已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線右支上,且|PF1|=3|PF2|.
(1)求
b
a
的最大值,并寫出此時雙曲線的漸進(jìn)線方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
4
10
5
,
3
10
5
)時,
PF1
PF2
=0,求雙曲線方程.
考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.由圓錐曲線統(tǒng)一定義,求得x0=
2a2
c
,根據(jù)P在雙曲線的右支得
2a2
c
≥a,再由a,b,c的關(guān)系可得a,b的關(guān)系,不難算出因此的漸近線方程;
(2)將
PF1
PF2
=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0、y0和c的表達(dá)式,化簡整理得c2=x02+y02=10,結(jié)合|PF2|=a和x0=
2a2
c
,聯(lián)解可得a2=4,從而b2=c2-a2=6,即可得到雙曲線方程,由此易得P的坐標(biāo).
解答: 解:(1)根據(jù)雙曲線的定義,得|PF1|-|PF2|=2a,
∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3a,|PF2|=a,
設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P(x0,y0),
雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左準(zhǔn)線方程為:x=-
a2
c
,
由圓錐曲線統(tǒng)一定義,得
|PF1|
x0+
a2
c
=e,∴3a=ex0+a,得x0=
2a2
c

∵P在雙曲線的右支,∴x0≥a即
2a2
c
≥a,解得c≤2a,即c2≤4a2,
即a2+b2≤4a2,即b≤
3
a,
b
a
3

b
a
的最大值為
3
,此時雙曲線的漸近線方程為y=±
3
x;
(2)
PF1
=(-c-x0,-y0),
PF2
=(c-x0,-y0),
PF1
PF2
=0,
∴-(c2-x02)+y02=0,可得c2=x02+y02=10…(*)
∵|PF2|=
(c-x0)2+y02
=a,
∴(c-x02+y02=a2
代入(*)式和x0=
2a2
c
,可得a2=20-2cx0=20-4a2,解之得a2=4,
∴b2=c2-a2=6,得雙曲線方程為
x2
4
-
y2
6
=1,
此時x0=
2a2
c
=
4
10
5
,y0
3
10
5

所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
4
10
5
,
3
10
5
)時,
PF1
PF2
=0,此時的雙曲線方程為
x2
4
-
y2
6
=1.
點(diǎn)評:本題給出雙曲線右支上點(diǎn)P滿足|PF1|=3|PF2|,求
b
a
的最大值,并求PF1⊥PF2時的雙曲線方程,著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正數(shù)x,y滿足
4
x
+
3
y
=1,則x+3y的最小值為( 。
A、5B、12C、13D、25

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知角α的終邊過點(diǎn)P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈(
π
2
,π),則cosα的值是(  )
A、-
3
5
B、
3
5
C、-
4
5
D、
4
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,2 x2-2>1,則命題¬p為(  )
A、?x∈R,2 x2-2≤1
B、?x0∈R,2 
x
2
0
-2
≤1
C、?x0∈R,2 
x
2
0
-2
<1
D、?x∈R,2 x2-2<1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(cosα,sinα),
b
-(cosβ,sinβ),|
a
-
b
|=
2
5
5
,其中0<α<
π
2
,-
π
2
<β<0,且sinβ=-
5
13

(1)求sinα的值;
(2)求f(x)=
1
2
cos2x-
130
33
sinαcosx(x∈R)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)變量x、y滿足
x-y+1≥0
x+y-3≥0
2x-y-3≤0
,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為( 。
A、7B、8C、22D、23

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有下列幾個命題:
(1)函數(shù)f(x)=sin(
π
3
-2x)(x∈R)在區(qū)間﹙-
π
12
,
12
﹚上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)α∈﹙0,
π
2
﹚時,sinα<α<tanα.
(3)若y=sinx-logax有5個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a取值范圍﹙
2
11π
,
2
﹚∪﹙
2
,
13π
2
﹚.
(4)一種放射性元素的質(zhì)量按每年20%衰減,則這種射性元素的半衰期為2.5年(lg≈0.3).
(5)定義運(yùn)算
.
a
b
c
d
.
=ad-bc,已知函數(shù)?(x)=
.
sinx
cosx
1
3
.
,若方程f2(x)=k在區(qū)間﹙-
π
12
,
π
4
﹚上有兩解,實(shí)數(shù)k的范圍是(0,2,-
3
).
其中正確命題的序號是
 
.(寫出所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過三點(diǎn)(-2,0)(6,0)(0,-6)的圓的方程是
 

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同步練習(xí)冊答案