Question

10．若正數x，y，a滿足ax+y+6=xy，且xy的最小值為18，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 9

Answer 1

分析 由基本不等式可得ax+y≥2$\sqrt{axy}$，令t=$\sqrt{xy}$，即為t²-2$\sqrt{a}$t-6≥0，由題意可得3$\sqrt{2}$為方程t²-2$\sqrt{a}$t-6=0的解，代入計算即可得到a的值．

解答 解：正數x，y，a滿足ax+y+6=xy，
且ax+y≥2$\sqrt{axy}$，
即有xy≥6+2$\sqrt{axy}$，
令t=$\sqrt{xy}$，即為t²-2$\sqrt{a}$t-6≥0，
由xy的最小值為18，可得
3$\sqrt{2}$為方程t²-2$\sqrt{a}$t-6=0的解，
即有18-6$\sqrt{2a}$-6=0，
解得a=2．
故選：B．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，考查換元法和二次不等式的解法，以及方程的根的定義，考查運算能力，屬于基礎題．