【題目】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F.過F作直線l與拋物線交于點(diǎn)P、Q，直線AP、AQ分別與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M、N.問：直線l滿足什么條件時(shí)，三直線PN、QM、AF恒交于一點(diǎn)？

【答案】見解析

【解析】

當(dāng)直線時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，四邊形PQMN是矩形，此時(shí)，三直線PN、QM、AF互相平行.

當(dāng)直線l不與AF垂直時(shí)，建立如圖的直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的方程為，

并設(shè)、.

由，得.

故，.

因?yàn)?/span>，所以，，.

由及分別得，.

故，

令y=0，則

故PN、QM與AF的交點(diǎn)分別為、.

于是，三直線PN、QM、AF交于一點(diǎn)點(diǎn)S和T重合

.

化簡(jiǎn)得

將，代入上式得

即.

因?yàn)?/span>，所以，上式成立.

此時(shí)，三直線PN、QM、AF恒交于一點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)直線l不與AF垂直時(shí)，三直線PN、QM、AF交于一點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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