Question

6．設關(guān)于x的方程是x²-（tanθ+i）x-（2+i）=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求銳角θ和實數(shù)根；
（2）證明：對任意θ≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），方程無純虛數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）先將原方程可化為x²-xtanθ-2-（x+1）i=0，再根據(jù)復數(shù)相等的條件得出左邊復數(shù)的實部與虛數(shù)都為0得到關(guān)于θ的方程組，解之即得．
（2）利用反證法證明方程有純虛數(shù)根，推出矛盾即可．

解答 解：（1）原方程可化為x²-xtanθ-2-（x+1）i=0，方程有實數(shù)根，設為x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-xtanθ-2=0\\ x+1=0\end{array}\right.$．
又θ是銳角，解得x=-1，
故θ=$\frac{π}{4}$．
（2）證明：假設方程有純虛數(shù)根，可設根為bi，b≠0，b∈R，
則x²-（tanθ+i）x-（2+i）=0化為-b²-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，
即-b²-ibtanθ-2+b-i=0，可得-b²-2+b=0，解得b=$\frac{1±\sqrt{7}i}{2}$∉R，
與假設矛盾，
所以方程無純虛數(shù)根．

點評 本小題主要考查復數(shù)的基本概念、一元二次方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．