Question

對(duì)于△ABC，下列正確命題的序號(hào)是

 

 （把所有正確的命題序號(hào)都填上）
①若sin2A=sin2B，則△ABC一定為等腰三角形；
②在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，則△ABC的面積是唯一確定的值；
③若sin²A+sin²B+cos²C＜1，則△ABC一定為鈍角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：①由sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A+2B=π，確定出三角形形狀，即可做出判斷；
②由A的度數(shù)求出cosA的值，設(shè)AC=x，再由AB，BC及cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長(zhǎng)，由A的度數(shù)求出sinA的值，再由AB及AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；
③已知不等式變形后利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示確定出C為鈍角，即可做出判斷．

解答： 解：①由sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=

π

2

，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②設(shè)AC=x，
由余弦定理得：7²=5²+x²-2•5•x•cos120°，
化簡(jiǎn)得：x²+5x-24=0，解得：x=3，
∴AC=3，
∵∠A=120°，AB=5，AC=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

15 3

4

，
則△ABC的面積是唯一確定的值，本選項(xiàng)正確；
③由sin²A+sin²B+cos²C＜1可得sin²A+sin²B＜sin²C，
由正弦定理可得a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC＜0，C為鈍角，本選項(xiàng)正確，
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．