Question

已知雙曲線實軸在x軸，且實軸長為2，離心率e=

3

，L是過定點p（1，1）的直線．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）判斷L能否與雙曲線交于A，B兩點，且線段AB恰好以點P為中點，若存在，求出直線L的方程，若不存，說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得a=1，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到雙曲線的方程；
（2）先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，P是線段AB的中點，則

x1+x2

2

=1，解得k=2 與k＜

3

2

，矛盾，當(dāng)k不存在時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在．

解答： 解：（1）由于2a=2，即a=1，
離心率e=

3

即為

c

a

=

3

，則c=

3

，
b²=c²-a²=3-1=2，
則雙曲線的方程為x²-

y2

2

=1；
（2）設(shè)過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1．
①當(dāng)k存在時有

y=k(x-1)+1 2x2-y2=2

，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，解得k＜

3

2

，
又方程的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標，
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，
又M（1，1）為線段AB的中點，
∴

x1+x2

2

=1即

k-k2

2-k2

=1，解得，k=2．
由于k=2，使2-k²≠0但使△＜0，
因此當(dāng)k=2時，方程無實數(shù)解．
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B，
且P為線段AB中點的直線不存在．
②當(dāng)x=1時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是相交時的中點弦問題，解題時要特別注意韋達定理的重要應(yīng)用，學(xué)會判斷直線與曲線位置關(guān)系的判斷方法．