Question

9．如圖，在長方形ABCD中，對(duì)角線BD與兩鄰邊所成的角分別為α，β則cos²α+cos²β=1．仿此，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 若對(duì)角線BD′與面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1
• B． 若對(duì)角線BD′與面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=2
• C． 若對(duì)角線BD′與三條棱AB，BC，BB′所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=2
• D． 以上類比結(jié)論均錯(cuò)誤．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的對(duì)角線BD與邊BC和AB所成角分別為α，β，則cos²α+cos²β=1，推廣到長方體ABCD-A′B′C′D′中，對(duì)角線BD′與面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角分別為α、β、γ，得出cos²α+cos²β+cos²γ=2．

解答 解：根據(jù)矩形的對(duì)角線BD與邊AB和BC所成角分別為α，β，
則cos²α+cos²β=cos²α+cos²（$\frac{π}{2}$-α）=cos²α+sin²α=1，
把它推廣到長方體ABCD-A′B′C′D′中，
對(duì)角線BD′與面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角分別為α、β、γ，
則cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{{BD}^{2}}{{BD′}^{2}}$+$\frac{{BA′}^{2}}{{BD′}^{2}}$+$\frac{{BC′}^{2}}{{BD′}^{2}}$=$\frac{2{（AB}^{2}{+BC}^{2}{+BB′}^{2}）}{{BD′}^{2}}$=$\frac{{2BD′}^{2}}{{BD′}^{2}}$=2．

故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了類比推理的應(yīng)用問題，也考查了直線與平面所成的角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．