Question

已知雙曲線C：x²-

y2

2

=1的左、右兩個頂點分別為A、B．曲線M是以A、B兩點為短軸端點，離心率為

2

2

的橢圓．設(shè)點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓M相交于另一點T．
（Ⅰ）設(shè)點P、T的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，證明：x₁x₂=1；
（Ⅱ）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點）的面積分別為S₁與S₂，且

PA

•

PB

≤9，求S₁•S₂的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）依題意得A（-1，0），B（1，0），設(shè)橢圓M的方程為x2+

y2

b2

=1，b＞1，由橢圓M的離心率e=

2

2

，得橢圓M的方程為x2+

y2

2

=1，設(shè)P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由k_AP=k_AT，和點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，能證明x₁x₂=1．
（Ⅱ）由

PA

•

PB

≤9，得x12+y12≤10，由點P是雙曲線在第一象限的點，得1＜x₁≤2，由已知得S12•S22=y22•

1

4

y12=

(2-2x22)(x12-1)

2

=（1-x₂²）（x12-1），由此推導(dǎo)出當(dāng)x₁=2時，（S₁•S₂）_max=

3

2

．

解答： （Ⅰ）證明：依題意得A（-1，0），B（1，0），
設(shè)橢圓M的方程為x2+

y2

b2

=1，b＞1，
由橢圓M的離心率e=

b2-1

b

=

2

2

，解得b²=2，
∴橢圓M的方程為x2+

y2

2

=1，
設(shè)P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2）
則k_AP=

y1

x1+1

，k_AT=

y2

x2+1

，
∵k_AP=k_AT，
∴

y1

x1+1

=

y2

x2+1

，即

y12

(x1+1)2

=

y22

(x2+1)2

，
∵點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，
∴x12-

y12

2

=1，x22+

y22

2

=1，
即y12=2(x12-1)，y22=2(1-x22)，
∴

2(x12-1)

(x1+1)

=

2(1-x22)

(x2+1)2

，
∴

x1-1

x1+1

=

1-x2

x2+1

，∴x2=

1

x1

．∴x₁x₂=1．
（Ⅱ）解：設(shè)P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2）
則

PA

=（-1-x₁，-y₁），

PB

=(1-x1，-y1)，
∵

PA

•

PB

≤9，∴（-1-x₁）（1-x₁）+y12≤9，
∴x12+y12≤10，
∵P在雙曲線上，∴x12-

y12

2

=1，∴x12+2x12-2≤10，∴x12≤4，
∵點P是雙曲線在第一象限的點，∴1＜x₁≤2，
∵S₁=

1

2

|AB||y2|=|y2|，S2=

1

2

|OB||y1|=

1

2

|y1|，
∴S12•S22=y22•

1

4

y12=

(2-2x22)(x12-1)

2

=（1-x₂²）（x12-1）
由（Ⅰ）知，x≤-2．
設(shè)-1≤x≤1，則f（x）=2＜4，S12•S22=t+

1

t

-2．
∵f（t）=t+

1

t

在區(qū)間（1，4]上單調(diào)遞增，f（t）_max=f（4），
∴S12•S22=t+

1

t

-2≤

9

4

，
即當(dāng)x₁=2時，（S₁•S₂）_max=

3

2

．

點評：本題考查兩點橫坐標(biāo)之積為1的證明，考查兩三角形面積之積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．