Question

在一個(gè)邊長為100cm的正方形ABCD中，以A為圓心半徑為90cm做一四分之一圓，分別與AB，AD相交，在圓弧上取一點(diǎn)P，PE垂直BC于E點(diǎn)，PF垂直CD于F點(diǎn)．
問：當(dāng)∠PAB等于多少時(shí)，矩形PECF面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)∠PAB=x，0≤x≤

π

2

，設(shè)矩形的面積為f（x），則f（x）=（100-90sinx）（100-90cosx）=100[81sinxcosx-90（sinx+cosx）+100）]，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，則t∈[1，

2

]，可得sinxcosx=

t2-1

2

．于是f（x）=g（t）=100[81×

t2-1

2

-90t+100]=4050(t-

10

9

)2+950，根據(jù)t∈[1，

2

]和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)∠PAB=x，0≤x≤

π

2

，設(shè)矩形的面積為f（x），
則f（x）=（100-90sinx）（100-90cosx）=100[81sinxcosx-90（sinx+cosx）+100）]，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，則t∈[1，

2

]．
∴t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，解得sinxcosx=

t2-1

2

．
∴f（x）=g（t）=100[81×

t2-1

2

-90t+100]=50（81t²-180t+119）=4050(t-

10

9

)2+950，
∵t∈[1，

2

]，
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，面積f（x）最大，此時(shí)∠PAB=

π

4

．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的面積、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．