Question

函數(shù)y=3|sinx|+sinx-k在[0，2π]上有且僅有兩個零點，則k的取值范圍是

（2，4）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得：當(dāng)x∈[0，π]時，sinx≥0，函數(shù)g（x）=4sinx≥0；當(dāng)x∈[π，2π]時，sinx≤0，函數(shù)g（x）=-2sinx≥0，即可結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，進而根據(jù)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸的思想方法把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，即可求出k的取值范圍．

解答：解：因為函數(shù)g（x）=3|sinx|+sinx，x∈[0，2π]，
所以當(dāng)x∈[0，π]時，sinx≥0，函數(shù)f（x）=4sinx≥0．
當(dāng)x∈[π，2π]時，sinx≤0，函數(shù)f（x）=-2sinx≥0．
所以g（x）=

4sinx，x∈[0，π] -2sinx，x∈[π，2π]

，
所以根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得函數(shù)g（x）的圖象，如圖所示：
因為函數(shù)y=3|sinx|+sinx-k在[0，2π]上有且僅有兩個零點，
即等價于函數(shù)與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，
所以結(jié)合圖象可得：2＜k＜4．
故答案為 （2，4）．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與有關(guān)性質(zhì)，以及考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，此題屬于中檔題．