Question

13．設函數(shù)f（x）的定義域為R，周期為2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結合進行求解即可得到結論．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
設g（x）=mx+m=m（x+1），則g（x）過定點（-1，0），
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
若g（x）=f（x）-mx-m有四個不同零點，
則等價為f（x）與g（x）有四個不同的交點，
由圖象可知當g（x）過點（3，1）時，滿足條件，
可得1=3m+m，則m=$\frac{1}{4}$，
∴在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同零點時，實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關鍵．注意使用數(shù)形結合的數(shù)學思想．