Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，周期為2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
設(shè)g（x）=mx+m=m（x+1），則g（x）過(guò)定點(diǎn)（-1，0），
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
若g（x）=f（x）-mx-m有四個(gè)不同零點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）與g（x）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖象可知當(dāng)g（x）過(guò)點(diǎn)（3，1）時(shí)，滿足條件，
可得1=3m+m，則m=$\frac{1}{4}$，
∴在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．