Question

3．已知函數(shù)f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）（2x-1）+|lnx|．
（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜2x²在（1，$\frac{5}{4}$）內(nèi)恒成立，求滿足條件的a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）則a-$\frac{1}{2}$＜$\frac{{2x}^{2}-lnx}{2x-1}$在（1，$\frac{5}{4}$）內(nèi)恒成立，令g（x）=$\frac{{2x}^{2}-lnx}{2x-1}$，x∈（1，$\frac{5}{4}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的最大值即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x+|lnx|-$\frac{1}{2}$，
①0＜x＜1時，f（x）=x-lnx-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=$\frac{x-1}{x}$＜0，f（x）遞減，
②x≥1時，f（x）=x+lnx-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0，f（x）遞增；
（2）若f（x）＜2x²在（1，$\frac{5}{4}$）內(nèi)恒成立，
則a-$\frac{1}{2}$＜$\frac{{2x}^{2}-lnx}{2x-1}$在（1，$\frac{5}{4}$）內(nèi)恒成立，
令g（x）=$\frac{{2x}^{2}-lnx}{2x-1}$，x∈（1，$\frac{5}{4}$），
g′（x）=$\frac{2（3x+1）（x-1）+\frac{1}{x}+lnx}{{（2x-1）}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，$\frac{5}{4}$）遞增，
∴g（x）_最小值=g（1）=2，
∴a-$\frac{1}{2}$＜2，
∴a＜$\frac{5}{2}$，
故a的最大整數(shù)值是2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．