Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃=8．
（1）若b_n=log₂a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=

bn

an

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，從而an=2n(n∈N*)，進(jìn)而b_n=log₂a_n=log22n=n．
（2）由cn=

n

2n

(n∈N*)，利用錯(cuò)位相減法能求出Sn=2-

n+2

2n

．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意知q＞0且q2=

a3

a1

=4，∴q=2（2分）
∴an=2n(n∈N*)．
∴b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*)（5分）
（2）∵c_n=

bn

an

（n∈N^*），∴cn=

n

2n

(n∈N*)，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為：Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①（6分）
在①式兩邊都乘以

1

2

得：

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

  ②（8分）
①-②得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

（10分）
∴Sn=2-

n+2

2n

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．