已知以原點(diǎn)為中心，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，
3
)，且過點(diǎn)（0，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)
OA
⊥
OB
？此時(shí)|
AB
|的值是多少？
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由題意根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得c=
3
、a=2，b=1，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A（x1，y1），B（x2，y2），把直線代入橢圓的方程，再利用韋達(dá)定理求得 x1+x2 和x1•x2．根據(jù) 
OA
•
OB
=0，求得k的值．根據(jù)|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+
1
4
•
(x1+x2)2-4x1•x2
，計(jì)算求得結(jié)果．
解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)所求的橢圓以原點(diǎn)為中心，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，
3
)，
且過點(diǎn)（0，2），可得c=
3
，a=2，
∴b=1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
4
+
x2
1
=1．
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，
由
y=kx+1
y2
4
+
x2
1
=1
可得 （k2+4）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-
2k
k2+4
，x1•x2=
-3
k2+4
．
∵
OA
⊥
OB
，∴
OA
•
OB
=0，即 x1•x2+y1•y2=0，即（1+k2）x1•x2+k（x1+x2）+1=0，
即 （1+k2）（
-3
k2+4
）+k（-
2k
k2+4
）+1=0，化間得-4k2+1=0，解得k=±
1
2
．
此時(shí)，|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+
1
4
•
(x1+x2)2-4x1•x2
=
5
2
•
(±
1
17
4
)2-4×
-3
17
4
=
4
65
17
．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若兩直線x-2y+5=0與2x+my-5=0互相平行，則實(shí)數(shù)m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+bx2-3x+1（b∈R），在x=x1和x=x2（x1＞x2）處都取得極值，則下列說法正確的是（　�。�
A、f（x）在x=x1處取得極小值，在x=x2處取得極小值
B、f（x）在x=x1處取得極小值，在x=x2處取得極大值
C、f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值
D、f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a．點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求證：|PQ|=|PF2|；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）若橢圓的離心率e=
3
2
，試判斷軌跡C上是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，請求出∠F1MF2的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．
（1）?a∈R，試證明函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過定點(diǎn)；
（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，
2
），且以點(diǎn)F（2，0）為它的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過點(diǎn)F（2，0）的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，
AB
•
BC
=-16．求：
（1）AB的值；
（2）
sin(A-B)
sinC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從編號為0，1，2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是5的樣本，若編號為28的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在邊長為2的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，現(xiàn)從正方形內(nèi)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P在圓內(nèi)的概率為（　�。�
A、
4-π
4
B、
4
π
C、
π
4
D、π

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