Question

12．在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=$2\sqrt{2}$a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G為PE的中點(diǎn)．
（1）求AG與平面PDE所成角的大小
（2）求點(diǎn)C到平面PDE的距離．

Answer 1

分析 （1）通過證明PA垂直平面ABCDE上的兩條相交直線即可，在三角形PAB中運(yùn)用勾股定理，可證明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同樣用勾股定理，可證明PA垂直AE，這樣就可證明PA⊥平面ABCDE．通過證明AG垂直于平面PDE中的兩條相交直線，在三角形中PA=AE=2a，可知AG垂直PE，再通過ED⊥平面PAE，利用線面垂直的性質(zhì)，可得AG垂直于DE，則AG⊥平面PDE可證．
（2）欲求點(diǎn)C到平面PDE的距離，只需過C點(diǎn)向平面PDE作垂線，但是垂足位置不容易找到，所以可以轉(zhuǎn)化為其它點(diǎn)到平面的距離．證明CF∥DE，則點(diǎn)C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離，就可求F到平面PDE的距離．再由（3）中結(jié)論知FG⊥平面PDE，所以FG的長即F點(diǎn)到平面PDE的距離，放入△PAE中求出即可．

解答 解：（1）解：（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2$\sqrt{2}$a，∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．
又∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．
∵PA=AE，G為PE中點(diǎn)，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE；
∴AG與平面PDE所成角的大小為90^°；
（2）解：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，
取AE中點(diǎn)F，連CF，∵AF∥=BC，∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，∴CF∥平面PDE．
∴點(diǎn)C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則 FG⊥平面PDE．
∴FG的長即F點(diǎn)到平面PDE的距離．
在△PAE中，PA=AE=2a，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥PE，∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．∴點(diǎn)C到平面PDE的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點(diǎn)評 本題主要考查了在幾何體中，線面垂直的證明，二面角，以及點(diǎn)到平面的距離求法，考查了學(xué)生的空間想象力，識圖能力，邏輯推理能力，以及計(jì)算能力．