Question

6．設(shè)a=5${\;}^{{5}^{5}}$，計(jì)算某個(gè)星期一后的第a天是星期幾？

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理展開化為7的倍數(shù)與某一個(gè)數(shù)P（0≤p≤6）的和的形式，考察余數(shù)即可得出．

解答 解：a=5${\;}^{{5}^{5}}$=5³¹²⁵=（7-2）³¹²⁵=${7}^{3125}-{∁}_{3125}^{1}×{7}^{3124}×2$+…+${∁}_{3125}^{3124}×7×{2}^{3124}$-2³¹³⁵
=$7（{7}^{3124}-{∁}_{3125}^{1}×{7}^{3123}×2$+…-${∁}_{3125}^{3123}×7×{2}^{3123}）$+2³¹²⁴（7×3125-2），
又2³¹²⁴（7×3125-2）=（7+1）¹⁰⁴¹×2×（7×3124+5）=$（{7}^{1041}+{∁}_{1041}^{1}{7}^{1040}+…+{∁}_{1041}^{1040}7+1）$（7×6249+3）=（7M+1）（7N+3）=7T+3，其中M，N，T皆為7的正整數(shù)倍，
∴a=5${\;}^{{5}^{5}}$被7除，余數(shù)是3．
因此計(jì)算某個(gè)星期一后的第a天是星期4．
答：是星期四．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．