Question

17．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f[f（x）]=0僅有一解，則a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 可判斷a≠0，從而由分段函數(shù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：若a=0，則方程f[f（x）]=0有無數(shù)個(gè)解，
故a≠0；
∵f[f（x）]=0，
∴l(xiāng)gf（x）=0或$\frac{a}{f（x）-1}$=0（舍去），
∴f（x）=1；
∴l(xiāng)gx=1或$\frac{a}{x-1}$=1，
∴x=10或a=x-1；
又∵關(guān)于x的方程f[f（x）]=0僅有一解，
∴a=x-1在x≤0上無解，
∴a＞-1，
綜上所述，a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．