Question

9．已知函數(shù)f（x）=2^x-1．
（1）求f（log₂3）的值；
（2）求函數(shù)y=f（|x|）的值域；
（3）作出函數(shù)y=|f（x）|的大致圖象，根據(jù)圖象，若方程|f（x）|=b有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)恒等式，求f（log₂3）的值；
（2）函數(shù)y=f（|x|）是偶函數(shù)，f（x）=2^x-1的值域是（-1，+∞），可得函數(shù)y=f（|x|）的值域；
（3）利用圖象的變換，可得函數(shù)y=|f（x）|的大致圖象，根據(jù)圖象，方程|f（x）|=b有兩個(gè)實(shí)根，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）f（log₂3）=${2}^{lo{g}_{2}3}$-1=3-1=2；
（2）函數(shù)y=f（|x|）是偶函數(shù)，f（x）=2^x-1的值域是（-1，+∞），∴函數(shù)y=f（|x|）的值域是（-1，+∞）；
（3）函數(shù)y=|f（x）|的大致圖象，如圖所示，

根據(jù)圖象，若方程|f（x）|=b有兩個(gè)實(shí)根，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)，考查圖象的變換，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．