Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三條：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為“美好函數(shù)”，給出下列結(jié)論：
（1）若函數(shù)f（x）為美好函數(shù)，則f（0）=0；
（2）函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）不是美好函數(shù)；
（3）函數(shù)h（x）=x^a（a∈（0，1），x∈[0，1]是美好函數(shù)；
（4）若函數(shù)f（x）為美好函數(shù)，且?x₀∈[0，1]，使得f（f（x₀））=x₀，則f（x₀）=x₀．
以上說法中正確的是

 

（寫出所有正確的結(jié)論的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，從而得到f（0）=0．
（2）根據(jù)美好函數(shù)的定義能夠證明函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上同時適合①②③．
（3）根據(jù)美好函數(shù)的定義能夠證明函數(shù)h（x）=x^a（a∈（0，1），x∈[0，1]是否同時適合①②③即可．
（4）利用反證法證明：若f（x₀）＞x₀，則由題設(shè)知f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，由此入手能證明f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=0，則有f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0，即f（0）≥0，故f（0）=0；∴（1）正確．
（2）g（x）是美好函數(shù)．證明如下：
①對任意的x∈[0，1]，總有g(shù)（x）≥0；
②g（1）=2-1=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
即：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
故g（x）為美好函數(shù)．∴（2）錯誤．
（3）①對任意的x∈[0，1]，總有h（x）=x^a≥0；
②h（1）=1；
③當x₁=

1

2

，x₂=

1

2

時，滿足x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則f（x₁+x₂）=f（1）=1，
f（x₁）+f（x₂）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2f（

1

2

）=2×(

1

2

)

1

2

=2

1 2

=2×

2

2

=

2

＞1，
即：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）不成立，
故h（x）不滿足條件③，∴h（x）=x^a不是美好函數(shù)．∴（3）錯誤．
（4）若f（x）為美好函數(shù)，由原條件①③得到：f（x）為增函數(shù)，
假設(shè)f（x₀）≠x₀，不妨設(shè)f（x₀）＞x₀，
則：f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾．
當f（x₀）＞x₀時，同樣得出矛盾．
故：對題設(shè)的x₀，有f（x₀）=x₀成立，∴（4）正確．

點評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義題，利用條件分別判斷是解決本題的關(guān)鍵，要求正確理解美好函數(shù)的定義，考查學生的分析問題的能力．