【題目】在△ABC中,A,B,C的對邊分別是a,b,c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求證:△ABC為等腰三角形
(2)若△ABC的面積為8 .且sinB= ,求BC邊上的中線長.
【答案】
(1)解:∵在△ABC中3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,
∴由正弦定理可得3c2+8a2=11ac,
分解因式可得(c﹣a)(3c﹣8a)=0
解得c=a或c= ,由c<2a可得c=a,
故△ABC為等腰三角形;
(2)解:∵△ABC的面積為8 ,且sinB= ,
∴8 = a2 ,解得a=c=8,
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosB=± =±
設(shè)BC邊上的中線長為x,當(dāng)cosB= 時(shí),
由余弦定理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=64,x=8;
當(dāng)cosB=﹣ 時(shí),同理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=96,x=4
【解析】(1)由已知式子和正弦定理可得3c2+8a2=11ac,分解因式結(jié)合題意可得c=a,可得△ABC為等腰三角形;(2)由題意和三角形的面積公式可得a=c=8,由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosB,利用余弦定理可得.
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=4,BC= ,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn).如果對于常數(shù)λ,在ABCD的四條邊上,有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P使得 =λ成立,那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣cx2為增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),以為圓心,為半徑作圓,當(dāng)圓與直線:有公共點(diǎn)時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最值;
(2)當(dāng)a≠0時(shí),過原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥CD,BC⊥平面PAB,且E,M,N分別為PD,CD,AD的中點(diǎn), =3 .
(1)證明:PB∥平面FMN;
(2)若PA=AB,求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,BC與AD的延長線交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在BA的延長線上.
(1)若 = , =1,求 的值;
(2)若EF2=FAFB,證明:EF∥CD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1= ,an+1=an2﹣an+1(n∈N*),則m= + +…+ 的整數(shù)部分是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},則(A∪B)∩C=( 。
A.{2}
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}
D.{1,2,3,4,6}
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