Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如圖求得點(diǎn)M（

1

3

，2），而點(diǎn)C（3，2），數(shù)形結(jié)合求得f（x）＞2的解集．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象有一部分在直線y=-3a（x+

1

2

）上，或在直線y=-3a（x+

1

2

）的下方．根據(jù)直線y=-3a（x+

1

2

）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N（-

1

2

，0），求得NB的斜率和NC的斜率，NC的斜率較小為

2

7

，令-3a≥

2

7

，求得a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|=

5-3x 2 ，x＜1 1+x 2 ，1≤x＜3 3x-5 2 ，x≥3

，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如圖
當(dāng)x＜1時(shí)，令f（x）=

5-3x

2

=2，求得x=

1

3

，可得點(diǎn)M（

1

3

，2），而點(diǎn)C（3，2），
∴f（x）＞2的解集為{x|x＜

1

3

，或x＞3}．
（2）由題意可得，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
即函數(shù)f（x）的圖象有一部分在直線y=-3a（x+

1

2

）上，或在直線y=-3a（x+

1

2

）的下方，
而直線y=-3a（x+

1

2

）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N（-

1

2

，0），NB的斜率為

1-0

1+ 1 2

=

2

3

，NC的斜率為

2-1

3+ 1 2

=

2

7

，

2

3

＞

2

7

．
故當(dāng)y=-3a（x+

1

2

）的斜率-3a滿足-3a≥

2

7

時(shí)，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
由此求得a≤-

2

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．