Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=a

x2+1

|x|

（a＞0，a≠1），有以下命題：
①函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為a²；
④函數(shù)的值域?yàn)椋╝²，+∞）．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用偶函數(shù)的概念與性質(zhì)可判斷①；
②令g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷②；
③利用y=|x|+

1

|x|

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1，即x=±1時(shí)取“=”）及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的最值，可判斷③；
④利用②③的結(jié)論可判斷④．

解答： 解：①，∵f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且f（-x）=a

(-x)2+1

|-x|

=a

x2+1

|x|

=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；
②，令g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=1-

1

x2

＞0，y=g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=a^x在（1，+∞）上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可得，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，故②正確；
③，由于y=|x|+

1

|x|

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1，即x=±1時(shí)取“=”），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=a^x在（0，1），（-∞，-1）單調(diào)遞減；在（1，+∞），（-1，0）上單調(diào)遞增，
∴0＜a＜1，x=±1時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為a²，故③正確；
④，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋╝²，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，a²]，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②③，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，著重考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想．