Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+2b-4a，當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)m＞0，且f（x）＞0的一個(gè)充分不必要條件是{x|m＜x＜2m+4}，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=-kf（x）+4（k+1）x+2（6k-1），當(dāng)k取何值時(shí)，對(duì)?x∈[0，2]，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（Ⅰ）由題意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的兩根．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到．
（II）由當(dāng)f（x）＞0時(shí)，x∈（-2，6），且f（x）＞0的一個(gè)充分不必要條件是{x|m＜x＜2m+4}，
可得{x|m＜x＜2m+4}?（-2，6），因此

2m+4≤6 m≥-2

，解得即可；
（III）由F（x）＜0對(duì)?x∈[0，2]恒成立，即kx²+4x-2＜0對(duì)?x∈[0，2]恒成立，通過(guò)對(duì)x分類討論，分離參數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性就看得出．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的兩根．
故

-2+6=- a 4 -2×6= 2b-4a a

，
解得 

a=-1 b=4.

．）
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，2m+4＞m．
由當(dāng)f（x）＞0時(shí)，x∈（-2，6），且f（x）＞0的一個(gè)充分不必要條件是{x|m＜x＜2m+4}，
∴{x|m＜x＜2m+4}?（-2，6），
∴

2m+4≤6 m≥-2

，解得-2≤m≤1，
又m＞0，∴m的取值范圍是0＜m≤1．
（Ⅲ）f（x）=-x²+4x+12，F(xiàn)（x）=-k（-x²+4x+12）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
由F（x）＜0對(duì)?x∈[0，2]恒成立，
即kx²+4x-2＜0對(duì)?x∈[0，2]恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，kx²+4x-2＜0成立；
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，k＜(

-4x+2

x2

)min，
又

-4x+2

x2

=

2

x2

-

4

x

，設(shè)t=

1

x

，則t∈[

1

2

，+∞)，
∴

2

x2

-

4

x

=2t²-4t=2（t-1）²-2，
當(dāng)t=1時(shí)，(

-4x+2

x2

)min=-2，
∴k＜-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分離參數(shù)法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．