Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=2x+b是曲線y=2alnx的切線，則當(dāng)a＞0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是-2．

Answer 1

分析 求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由條件得到2=$\frac{2a}{m}$，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna-2a（a＞0），再對(duì)b求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，極值也為最值，即可得到所求．

解答 解：y=2alnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{2a}{x}$，
由于直線y=2x+b是曲線y=2alnx的切線，
則設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
則2=$\frac{2a}{m}$，n=2m+b，n=2alnm，
即有b=2alna-2a（a＞0），
b′=2（lna+1）-2=2lna，
當(dāng)a＞1時(shí)，b′＞0，函數(shù)b遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b′＜0，函數(shù)b遞減，即有a=1為極小值點(diǎn)，
也為最小值點(diǎn)，且最小值為：2ln1-2=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．