Question

10．已知拋物線C：y²=6x，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得|DF|的長度，利用拋物線性質(zhì)可求得|AF|=|AC|，$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$可知|AB|=2|AF|=2|AC|，根據(jù)三角形可求得|BD|=3$\sqrt{3}$，利用相似三角形可求得|CA|、|CD|的值，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得A到原點(diǎn)的距離．

解答 解：拋物線C：y²=6x，準(zhǔn)線垂直于x軸，垂足為D，|DF|=3，
由拋物線定義，A點(diǎn)到F點(diǎn)的距離等于A到準(zhǔn)線的距離，即|AF|=|AC|，
$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，即|FB|=3|FA|，|AB|=2|AF|=2|AC|．
∴∠ABC=$\frac{π}{6}$，tan∠ABC=$\frac{丨DF丨}{丨BD丨}$，
∴|BD|=3$\sqrt{3}$，
由相似三角可知，|CA|=$\frac{2}{3}$|DF|=2，|CD|=$\frac{1}{3}$|BD|=$\sqrt{3}$，
A點(diǎn)橫坐標(biāo)為|AC|-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故A點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為$\sqrt{\frac{1}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生計(jì)算能力及對(duì)問題的轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，