Question

8．圓C₁：x²+y²+2x+6y+6=0，圓C₂：x²+y²-4x-2y+4=0，Q，P都是到兩圓的切線長相等的兩點，若直線QP將兩圓的圓心連線分成的兩段長分別為m，n（m＞n），則$\frac{m}{n}$=$\frac{14}{11}$．

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)求出直線PQ的方程，求出兩圓圓心連線的方程即可發(fā)現(xiàn)兩直線垂直，分別求出兩圓心到直線PQ的距離即可得出m，n的值．

解答 解：圓C₁的圓心為C₁（-1，-3），半徑為r₁=2，
圓C₂的圓心為C₂（2，1），半徑為r₂=1，
設(shè)P（x，y），∵P到兩圓的切線長相等，
∴（x+1）²+（y+3）²-4=（x-2）²+（y-1）²-1，
即3x+4y+1=0．
∴直線PQ的方程為3x+4y+1=0，
兩圓的圓心連線C₁C₂的方程為$\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{4}$，即4x-3y-5=0，
∴直線PQ與直線C₁C₂垂直，
∴C₁到直線PQ的距離為$\frac{|-3-12+1|}{5}$=$\frac{14}{5}$，C₂到直線PQ的距離為$\frac{|6+4+1|}{5}$=$\frac{11}{5}$，
∴m=$\frac{14}{5}$，n=$\frac{11}{5}$，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{14}{11}$．
故答案為：$\frac{14}{11}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．