Question

14．如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中∠BAC=30°）及其體積．

Answer 1

分析 求出AC=$\sqrt{3}$R，BC=R，CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，再求出幾何體的表面積；要求旋轉后陰影部分的體積即是球的體積減去兩個圓錐的體積，根據圓錐的體積公式和球的體積公式進行計算．

解答 解：如圖所示，過C作CO₁⊥AB于O₁，在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=$\sqrt{3}$R，BC=R，CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴S_球=4πR²，
${S}_{圓錐A{O}_{1}側}$=π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×$\sqrt{3}$R=$\frac{3}{2}$πR²，
${S}_{圓錐B{O}_{1}側}$=π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$πR²，
∴S_幾何體表=S_球+${S}_{圓錐A{O}_{1}側}$+${S}_{圓錐B{O}_{1}側}$=$\frac{11+\sqrt{3}}{2}$πR²，
∴旋轉所得到的幾何體的表面積為$\frac{11+\sqrt{3}}{2}$πR²．
又V_球=$\frac{4}{3}$πR³，${V}_{圓錐A{O}_{1}}$=$\frac{1}{3}$•AO₁•π•CO₁²=$\frac{1}{4}$πR²•AO₁
${V}_{圓錐B{O}_{1}}$=$\frac{1}{3}$BO₁•πCO₁²=$\frac{1}{4}$BO₁•πR²
∴V_幾何體=V_球-（${V}_{圓錐A{O}_{1}}$+${V}_{圓錐B{O}_{1}}$）=$\frac{5}{6}$πR³．

點評 本題考查組合體的表面積、體積的求法，能夠熟練運用銳角三角函數(shù)的概念進行求解，熟悉圓錐和球的表面積、體積公式．