Question

9．在四棱錐P-ABCD中，設(shè)底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥面ABCD．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）過(guò)BD且與直線PC垂直的平面與PC交于點(diǎn)E，當(dāng)三棱錐E-BCD的體積最大時(shí)，求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥AC，PA⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．
（2）設(shè)PA=x，三棱錐E-BCD的底面積為定值，求得它的高$h=\frac{x}{{{x^2}+2}}$，求出三棱錐E-BCD的體積的最大值，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EBD的一個(gè)法向量，平面BCD的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，
由此推出PA⊥BD，
又AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以推出PC⊥BD．
（2）設(shè)PA=x，三棱錐E-BCD的底面積為定值，求得它的高$h=\frac{x}{{{x^2}+2}}$，
當(dāng)$x=\frac{2}{x}$，即$x=\sqrt{2}$時(shí)，h最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，三棱錐E-BCD的體積達(dá)到最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$．
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則$B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，\sqrt{2}）$，令E（x，y，z），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{PC}$，得$λ=\frac{3}{4}$，∴$E（\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$是平面EBD的一個(gè)法向量，$\overrightarrow{BD}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-\frac{1}{4}，\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow n=（1，1，\sqrt{2}）$．
又$\overrightarrow{AP}=（0，0，\sqrt{2}）$是平面BCD的一個(gè)法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AP}＞=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴二面角E-BD-C為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．